Псевдокружность - Pseudocircle

В псевдокружность это конечное топологическое пространство Икс состоящий из четырех различных точек {а,б,c,d} со следующими нехаусдорфовый топология:

${ displaystyle left { {a, b, c, d }, {a, b, c }, {a, b, d }, {a, b }, {a }, {b }, emptyset right }}$.

Эта топология соответствует частичный заказ ${ Displaystyle a$ где открытые множества - это закрытые вниз множества. Икс очень патологический с обычной точки зрения общая топология поскольку это не удовлетворяет ни один аксиома разделения Помимо Т₀. Однако с точки зрения алгебраическая топология Икс обладает тем замечательным свойством, что он неотличим от круг S¹.

Точнее непрерывная карта ж из S¹ к Икс (где мы думаем о S¹ как единичный круг в р²) предоставлено

${ displaystyle f (x, y) = { begin {case} a quad x <0 b quad x> 0 c quad (x, y) = (0,1) d quad (x, y) = (0, -1) end {case}}}$

это слабая гомотопическая эквивалентность, то есть ж индуцирует изоморфизм на всех гомотопические группы. Следует^[1] который ж также индуцирует изоморфизм на особые гомологии и когомологии и вообще изоморфизм всех обычных или необычных теории гомологий и когомологий (например., K-теория ).

Это можно доказать, используя следующее наблюдение. Нравиться S¹, Икс это союз двух стягиваемый open sets {а,б,c} и {а,б,d} чье пересечение {а,б} также является объединением двух непересекающийся стягиваемые открытые множества {а} и {б}. Так нравится S¹, результат следует из группоида Теорема Зейферта-ван Кампена, как в книге Топология и группоиды.^[2]

В более общем плане МакКорд показал, что для любого конечного симплициальный комплекс K, Существует конечное топологическое пространство Икс_K который имеет тот же слабый гомотопический тип, что и геометрическая реализация |K| из K. Точнее есть функтор, принимая K к Икс_K, из категории конечных симплициальных комплексов и симплициальных отображений и естественный слабая гомотопическая эквивалентность из |K| к Икс_K.^[3]

Смотрите также

• Список топологий

Рекомендации